向量法证明正弦定理(精选多篇)

第一篇：向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

2

如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c

由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出)

在向量等式两边同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│co(更多请搜索WWW.)s90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步骤1

记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180 ……此处隐藏2216个字……

其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：

c?cz?cxy

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b这两个式子等价

现在我们考虑(a?b)?c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，(a?b)?c与a、b共面，a与b不共线，不妨设(

a?b)?c?xa?yb，

a,cxy

?(

?

,?),b,cxy

?(0,

?

)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?csin[?-a,b]

?sin[

xa

?

yb

sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因为a?b）?c?abcsina,b

所以，解得k=abc， 于是解得：

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由图示和假定的条件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，

所以，

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命题得证。

小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。